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    函數的奇偶性教學設計芻議
    信息來源:郎溪中學  ‖  發稿作者:劉自珍   ‖  審核人員:方明凱  ‖  審批人員:方明凱  ‖  發布時間:2017年9月28日  ‖  查看7174次  ‖   字體:[] [] []

        2017年9月22日,郎溪縣高中數學青年教師優秀課評選在郎溪中學舉行,課題是函數的奇偶性,我有幸作為評委在一天的賽課中欣賞了六位老師不同風格、不同特色的精彩課堂,很有感觸。結合我平時在備課、上課時的習慣,要對自己進行“三問三答”,然后才會走上講臺。哪三問呢?“一問為什么要上這一課”、“二問這一課上什么”、“三問怎么上好這一課”,現就以這“三問”來談一談我粗淺的想法。

        首先來談第一個問題。

        一  為什么要上這一節課

        上一節課還要問為什么?教科書不是已經安排好了嗎?或許我們早已習慣了被安排,或許在我們平日里繁忙的教學活動中根本來不及思考這個問題,可這個問題卻真真切切地存在著。德國數學家高斯說“數學是科學的皇后”,英國文藝復興時期的哲學家培根在《論學問》中有一段話:史鑒使人明智;詩歌使人巧慧;數學使人精細;可見數學是自然科學的基礎,同時數學在育人方面的有重要的價值。學習數學就要有一定的載體,這就回歸到教學的內容上來。那么,為什么要學習函數的奇偶性呢?

        1. 1必要性

        奇偶性是函數的一條重要的性質,所謂性質,就是一般地函數所具有的公共的特征,從概念上說奇偶性是函數概念的下位概念,也就是說函數是源,奇偶性是流,為什么有這一支流,不妨要從源頭上找。

        函數這一概念是中學數學的核心概念,它在初中階段與高中階段有著不同的表述,

        我們具體地來看:初中階段:一般地,設在一個變化過程中有兩個變量xy,如果對于x的每一個值,y都有唯一的值與它對應,那么就說x是自變量,yx的函數。


        初中階段的概念表述是基于物理學的背景,是從運動的觀點出發的,高中階段的概念表述是基于集合和對應的觀點,二者在本質上是一致的。簡單地說函數就是因變量隨自變量的變化而變化,大家注意到,這里的兩個變量,一是研究的順序問題,二是研究的內容。前一問題不難明白,后一個問題,研究的內容,從高中對函數的概念的表述上,可以看出研究變量的對象是非空的數集,也就是要從數集(列)的角度去考慮,于是,我們是在從數集(列)的角度去在兩個變量的變化中尋找一般的規律,如,當x在增大,f(x)也在增大(或減少),反映在圖形上的特征是這個函數的圖象從左向右是上升(或下降),謂之單調性;如,x增加一個固定的值,其函數值不變,即f(x)=f(x+T),反映在圖形上的特征是圖形循環出現的,謂之周期性;如,當x取它的相反數時,其函數值相等或互為相反數,即f(x)=f(x)f(x)=f(x),反映在圖象上的特征是函數圖象關于y軸對稱或是關于原點中心對稱,謂之奇偶性。當然函數還有很多重要的性質,如最值、零點、函數值增長(減少)的快與慢等,主要從數集(列)的特殊值去考慮。

        1.2  合理性

        脫離圖形去研究函數,是抽象的,不完整的。從函數的圖形上看,我們在初中階段學過的函數,如:y=xy=xy=1/x,它們的圖象有曲、直之分,同時它們又是對稱的,有軸對稱(關于y軸),有中心對稱(關于原點),這兩種對稱方式既是函數圖象中普遍存在的又是兩種不同規則的對稱,圖形本身能夠很好地直觀刻畫這一規則,如何從數的角度,也就是從自變量和因變量的角度去解釋這兩種不同的規則呢?關于y軸對稱的點的坐標特征x,y,(-x,y),關于原點對稱的點的坐標特征(x,y,(-x,y)即x取它的相反數時,它的函數值呈現的相等或互為相反數,意味著不同的規則下的圖形,其實對應著不同規則的函數,要去刻畫和區分這種規則,于是新的概念(奇函數、偶函數)順應而生。當然新的概念也能反映出函數的這一本質特征。

     

        二這一節課上什么?

        即教學目標的確定,是基于對教學內容的解讀和對學生認知狀況的分析,一般上,要經過解讀教材、了解學生的認知、選擇合適的素材、確定教學的重難點、選擇合適的教學方法。

        2.1教學內容的宏觀解讀

        教學內容的宏觀解讀是指以宏觀的整體的視角,找到知識的生長點與延伸點,找到各知識點的邏輯性與關聯性,讓整節內容形成一條知識的整體線。我們不妨把教材的整節內容用框圖的形式呈現出來。

        可見“以具體的函數作為知識背景------概念的形成-------概念的應用”作為這一節內容的綜合性的主線,從函數的奇(偶)性概念的形成來看“特殊函數圖象的定性分析-----函數值列表的定量分析------形式化的概念”是概念形成的一條主線。為什么要宏觀地解讀,你看,只有宏觀地解讀才能從整體上把握教材的主線,理解編者的意圖,即明確把奇(偶)函數的概念形成過程作為教學的重點;圖象對稱的直觀的結論還需要從數量關系的角度推理論證;研究函數性質的方法:(1)觀察函數圖象,描述其共同特征;(2)結合圖、表,用自然語言描述圖象特征;(3)用數學的符號語言定義奇(偶)函數。

       2.2教材所體現的數學思想方法

        思想方法指在教材內容的解讀過程中,把隱含在內容之后的數學思想方法揭示出來,把教學內容看作是形,那么思想方法才是數學的精髓是數學的神。以偶函數的概念形成來看,先是觀察f(x=x2fx=x|的函數圖象再分析函數值的對應表的數據特征,它體現了研究問題的基本方法“定性分析”與“定量分析”相結合;教材中先安排偶函數的學習,奇函數的研究完全可仿照偶函數進行,體現了對同一性質的問題可以用“類比”的方法去研究;圖象的特征是直觀的,函數值的研究是細微的具體的,已知函數的奇偶性可以推斷它在整個定義域內的圖象,反之也可以通過函數圖象來判斷函數的奇偶性,充分體現了數學中的“數形結合”的思想;函數圖象是整體的,對稱點的研究是局部的,上升到形式化的定義又是整體的,所以整個定義的形成是經過了“從整體—-局部—-整體”的過程;通過對fx=x2fx=x|、fx=xfx=1/x幾個特殊的函數圖象特征的研究形成奇()函數的一般性定義,又體現了認識事物從特殊到一般的規律,及函數的研究從具體到抽象的過程;若函數f(x)是偶函數,則f(-3)=f(3),反之,若函數f(x), 已知 f(-3)=f(3),那么函數f(x)是否為偶函數,則體現了哲學上的辯證思想。

        2.3學生認知狀況的分析

        函數奇偶性的實質是函數圖象的對稱性,它是函數圖象整體性的特征,關于對稱性在初中學習二次函數和反比例函數時已有初步的學習,初中階段二次函數的對稱性主要體現在方便畫圖及確定頂點,反比例函數的對稱性則主要是方便畫圖。初中學生對函數的對稱性的認識主要以具體的函數如y=3xy=1/xy=4x2+6x+7的圖象作支撐,從運動的觀點考察變量的關系,而在高中階段,則函數的研究從集合與對應的觀點出發,這就使函數的研究有很高的抽象性、理論性,當然我們在看到知識結構上升的同時,也找到了知識的生長點,即學生知識生長的銜接區。函數的奇偶性是函數的重要性質,它的運用還體現在對后續教材中幾個初等函數、三角函數及由它們運算構成的抽象復合函數。比如:(1)確定函數g(x)=x+1/x+1的對稱中心。(2)若函數f(x)D上是奇函數,設g(x)= f(x)+1.確定g(x)的對稱中心。(3)設函數y= f(x)定義在R上,則函數y= f(x-1) y= f(1-x)的圖象的對稱軸是什么。

     

        三、怎么上好這一課

        據上述分析,確定本節課仍然是概念課的教學,將概念的形成過程(觀察、歸納、抽象)作為教學的重點,將數學的思想方法的隱性目標依托于教材的知識目標滲透給學生,讓學生感受到概念產生的合理性、自然性。以下是我對本節課的初步預設,主要展示偶函數的概念生成過程,下文中四、五、六、七環節沒有展示。

    一、初步感受奇、偶函數圖象的對稱性特征,并會根據特征分類

    “同學們,我們在初中已經學過了幾個函數,f(x)=xf(x)= x-1 f(x)=x2,你能很快地畫出它們的圖象嗎?”(突出“很快”,意味著圖象有特征,列表有規律,據以前經驗,學生沒有知識上的障礙,可以很快畫出。)

    “你能再畫幾個嗎?f(x)=x3 f(x)=x4 f(x)=x5f(x)=x6 f(x)=x7 ”(意味著,前面畫的對后面所畫有啟發,這幾個函數圖象在實際畫的過程中有點“麻煩”,但函數圖象畫法是不變的,這樣有意設置障礙,意在引發沖突,讓學生欲得不能仍想得之,教師可以用幾何畫板來展示這幾個函數的圖象。)

    “請同學們觀察圖象,根據圖象特征,給上述函數分類,并說明分類的標準?”

    (不同的標準產生不同的分類,比如曲、直之分,但學生一定會想到根據圖象的對稱性來分)結果如下

       f(x)=xf(x)= x-1 f(x)=x3 f(x)=x5f(x)=x7  

       f(x)=x2f(x)=x4 f(x)=x6

        教師根據分類,與學生一起嘗試,給這兩類函數一個名稱,即奇函數、偶函數。(從自變量的指數上看是奇數和偶數,當然奇函數、偶函數的命名可能并不是因這里指數的奇偶而得名,如是這樣,我們對f(x)=|x|就無法解釋,故這里的命名是非本質上的命名,但一定程度上的“合理”性也給了學生一種“合理”的感受。)

     

    二、進一步感受偶函數圖象的對稱性,確定研究的思路與方法

        “我們先選擇“偶函數” f(x)=x2f(x)=x4 f(x)=x6來進一步地研究它的性質,它的圖象是關于y軸對稱的,對稱圖形的實質是什么?對稱的數量關系是什么?”(啟發學生回答是點的對稱,從而去研究對稱點的坐標,回到到前面的列表畫圖中。這個啟發有難度,它開始了從定性研究到定量研究的過程,開始了研究的視角從整體觀察到局部點,開始了由形到數的過程,也為奇函數性質的研究提供了思路與方法)

        以f(x)=x2為例,學生觀察列表,得到

    f(-1)= f(1),

    f(-2)= f(2),

    f(-3)= f(3),

    ……

        用自然語言概括特征:當自變量取它的相反數時,函數值是不變的。

        用符號來表示上面特征:f(-x)= f(x)

       “函數f(x)=x4 f(x)=x6 也有這樣的特征嗎?請同學說明。”“你還能舉出有這種特征的函數嗎?”

       “函數的研究要緊緊地圍繞著它的核心,即‘三要素’,如果嘗試去改變它的定義域,如函數f(x)=x2x>0)也有這樣的特征嗎?如果x>2x>5x≠-6呢?”(通過改變定義域的范圍,讓學生從數式的角度,感受圖形是否對稱,體會偶函數的定義域的對稱性,這個過程也體現了由數到形的過程,學生感受到僅從函數解析式上并不能判斷圖象的對稱性,首要考慮定義域,體會定義域中“任意”二字的意義,不斷回歸到函數這一中心概念。)

     

    三、歸納總結偶函數的特征,并用符號的語言描述偶函數的概念

        “請同學總結偶函數的圖象特征,并給偶函數下定義。”

        “請同學舉出幾個偶函數的例子。”學生舉例后,要反問,“你是怎么舉出的呢?”

        (請同學舉例,是檢測學生是否準確把握偶函數的概念,理解其真正的內涵,比如學生可能舉出類似f(x)=|x|,f(x)= x4+x6例子,反問的目的是讓學生回歸到偶函數f(-x)= f(x)的本質。)

    四、奇函數的研究仿照偶函數的研究交給學生

        “請同學們來研究‘奇函數’,你準備怎么研究呢?“

        (教師在前面已經給出研究的方法,以及可能得出的類似“偶函數”的結論,現在又給出研究的對象,要放手讓學生去探索,給學生一定的空間和時間,讓學生分組開展研究、相互交流、匯報總結)

    五、例題5奇偶性的判斷

    六、練習

    七、總結本節課內容

     四、幾點商榷

    1、 關于情境引入。

        這次上課6位老師,有5位教師,是先展示生活中的有軸對稱圖形和中心對稱圖形的圖片,意在讓學生感受數學之美,感受數學與生活的緊密聯系,同時也是從對稱圖形引入函數圖形對稱的課題,個人覺得函數圖形的對稱與生活中圖片的對稱是有本質的區別,只見圖形不見數學,也就是函數圖形的對稱性是否源自于生活中的圖片上的對稱,這里的對稱是否有助于我們形成奇、偶函數的概念的過程,難道僅僅是為了引題而引題,為了情境而情境嗎?還有一位老師采用游戲引入:甲、乙兩人輪流往一個圓桌面上放同樣大小的硬幣。規則是:每人每次只能放一枚,硬幣不許重疊,誰放完最后一枚硬幣而使對方再也無處可放,誰就獲勝。如果甲先放,那么他怎樣放才能取勝?個人覺得,與上相同,甚至于很難想到它和函數還有著千絲萬縷的聯系。

    2、 關于概念的生成。

        有一位老師直接從奇、偶函數的概念入手,研究圖形特征,個人覺得這樣的做法不利于學生體會感受概念的形成過程,也顯得太突然、太抽象。

    3、 教學目標的設定。

        在練習階段有老師已經設置了“(1)確定函數g(x)=x+1/x+1的對稱中心。(2)若函數f(x)在D上是奇函數,設g(x)= f(x)+1.確定g(x)的對稱中心。”這樣的問題。對于本節課,從教學目標上看,主要是從形與數兩個角度進行引導,使學生理解函數奇偶性的概念,在奇偶性概念的形成過程中培養學生觀察、歸納、抽象的能力,培養學生從特殊到一般的概括能力,滲透數形結合等重要的數學思想。所以這樣抽象函數的問題放到下一個課時,可能更合適。
                  
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